AB,CD的斜率均存在,求△FMN面积的最大值.Р每日一题(4)答案Р解:(1)由题意:c=1,=,则a=,b=1,c=1,(每个1分,3分)Р椭圆的方程为+y2=1.(4分)Р(2) 证明:AB,CD斜率均存在,设直线AB方程为y=k(x-1),РA(x1,y1),B(x2,y2),M,Р得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,(5分)Р故M.(6分)Р将上式中的k换成-,则同理可得N.(8分)Р如=,得k=±1,则直线MN斜率不存在,Р此时直线MN过点,下面证明动直线MN过定点P.(9分)Р(证法1) 若直线MN斜率存在,则kMN===×,Р直线MN为y-=×.(11分)Р令y=0,得x=+×=×=.Р综上,直线MN过定点.(12分)Р(证法2) 动直线MN最多过一个定点,由对称性可知,定点必在x轴上,设x=与x轴交点为P,下证动直线MN过定点P.Р当k≠±1时,kPM==×,(10分)Р同理将上式中的k换成-,可得kPM=×=×,(11分)Р则kPM=kPN,直线MN过定点P.(12分)Р(3) 解:由第(2)问可知直线MN过定点P,Р故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×||Р=×=×=×,(13分)Р令t=|k|+∈[2,+∞),S△FMN=f(t)=×=×.(14分)Рf′(t)=×<0,则f(t)在t∈[2,+∞)上单调递减,(15分)Р当t=2时f(t)取得最大值,此时S△FMN取得最大值,此时k=±1.(16分)Р江苏省2018届高三解析几何专项训练Р每日一题(5)Р5.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x与椭圆E相交于A、B两点,AB=2.C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点,且直线AC、BD相交于点M,直线AD、BC相交于点N.Р(1)求a,b的值;Р(2)求证:直线MN的斜率为定值.
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