除法:125=7?17?6,q1=7,r1=6,17=2?6?5,q2=2,r2=5,6=1?5?1,q3=1,r3=1,5=5?1,q4=5。由上节定理4知,(125,17)=r3=1。利用定理1计算(n=3)10P0=1,P1=7,P2=2?7?1=15,P3=1?15?7=22,Q0=0,Q1=1,Q2=2?1?0=2,Q3=1?2?1=3,取s=(?1)3?1Q3=3,t=(?1)3P3=?22,则125?3?17?(?22)=(125,17)=1。注:利用裴蜀恒等式可以证明上节的例3。由-2(21n?4)+3(14n?3)=1知结论成立。定理2若a,b,c是任意的三个整数,且(a,c)=1,则(1)ab,c与b,c有相同的公因数;(2)(ab,c)=(b,c)(5)上面假定了b,c至少有一个不为零。(证明留给学生自己)推论2.1若(a,c)=1,c?ab,则c?b推论2.2若(a,bi)=1,1?i?n,则(a,b1b2?bn)=1推论2.3若(ai,bj)=1,1?i?n,1?j?m,则(a1a2?an,b1b2?bm)=1注:几个常用的结论。若(a,b)=1则①(an,bm)=1;②(a±b,ab)=1③(a+b,a-b)=1或2定义1设a1,a2,?,an是n(n≥2)个整数,若整数d是这n个数的倍数,则d就叫做a1,a2,?,an的一个公倍数;又在a1,a2,?,an的一切公倍数中的最小正数叫做a1,a2,?,an的最小公倍数。记作:[a1,a2,?,an]。由于任何正数都不是0的倍数,故讨论整数的最小公倍数时,假定它们都不是0.定理3[a1,a2,?,ak]=[|a1|,|a2|?,|ak|]证明:设m1=[a1,a2,?,ak],m2=[|a1|,|a2|,?,|ak|],则由ai?m1推出|ai|?m1,即m2?m1,同理可得m1?m2,故m1=m2
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