明的命题(基本公理)出发,利用逻辑的法则,把一门数学建成为演绎系统的方法。徐光启(1562-1633)李善兰(1810-1882)6《几何原本》的每一卷都以一些概念的定义、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。465个定理。定义(1)点是没有部分的。(2)线是只有长度而没有宽度的。(3)线的界限是点。(4)直线是这样的线,它对于它的所有各个点都有同样的位置。(5)面是只有长度和宽度的。(6)面的界限是线。(7)平面是这样的面,它对于它的所有直线有同样的位置。(8)平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度(9)当形成一角度的两线是一直线的时候,那角度成为平角。……(23)平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。7公设(1)任意两个点可以通过一条直线连接。(2)任意线段能无限延伸成一条直线。(3)以任意点为圆心、任意线段为半径可以作一个圆。(4)凡直角皆相等。(5)若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。第五公设称为平行公理,引导出千年来数学上和哲学上最大的难题之一。后人证明它同下面两条命题等价?1.三角形内角和等于两个直角?2.通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。8公理(1)等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量,其和仍相等。(3)等量减等量,其差仍相等。(4)彼此能够重合的物体是全等的。(5)整体大于部分。说明:近代数学不分公设与公理,凡是基本假定都叫公理。那么,“公设”与“公理”最初的含义分别是什么?有什么细微差别吗?9欧几里德是这样区分公理与公设的:?第一,公理适合于一切科学,而公设是几何所特有的;?第二,公理本身是自明的,公设没有公理那样自明,但也是不加证明而承认其真实性的。?时至今日,人们已不再区分公理与公设了,都用公理一词来表明。10
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