39 40Р41 42 43 44 45 46 47 48 49 50Р51 52 53 54 55 56 57 58 59 60Р61 62 63 64 65 66 67 68 69 70Р71 72 73 74 75 76 77 78 79 80Р81 82 83 84 85 86 87 88 89 90Р91 92 93 94 95 96 97 98 99 100Р2.求82798848及81057226635000的标准式.Р解:因为8|848,所以,Р又8|856,所以8|B,,Р又4|32,所以4|C,Р又9|(3+2+3+4+3+3),所以9|D,,Р又9|(3+5+9+3+7),所以9|E,Р又Р所以;Р同理有。Р3.证明推论3.3并推广到n个正整数的情形.Р推论3.3 设a,b是任意两个正整数,且Р,,,Р,,,Р则,,Р其中,,Р证:,Р∴Р∴,.Р∴,又显然Р∴,同理可得,Р推广Р设,,Р(其中为质数为任意n个正整数), 则Р4.应用推论3.3证明§3的定理4(ii)Р证:设,Р其中p1, p2, L, pk是互不相同的素数,ai,bi(1 £ i £ k)都是非负整数,有Р由此知(a, b)[a, b] ==ab;从而有.Р5.若是质数(n>1),则n是2的方幂.Р证:(反证法)设为奇数),Р则Р∵,Р∴为合数矛盾,故n一定为2的方幂.Р§5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用Р1.求30!的标准分解式.Р解:30内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29Р,Р,Р,Р∴Р2.设n是任一正整数,a是实数,证明:Р(i) Р(ii) Р证:(i)设.则由性质II知,Р所以,Р所以,所以,又在m与m+1之间只有唯一整数m,所以.Р (ii) [证法一]设,Р则Р①当时, ;Р②当时,;Р[证法二]Р令,Р是以为周期的函数。Р又当,
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