面BCF;Р(2)点M在线段EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.Р【考点】MT:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直的判定.Р【分析】(1)在梯形ABCD中,设AD=CD=BC=1,由题意求得AB=2,再由余弦定理求得AC2=3,满足ABР2=AC2+BC2,得则BC⊥AC.再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF,由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF.进一步得到EF⊥平面BCF;Р(2)分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(),得到C,A,B,M的坐标,求出平面MAB的一个法向量,由题意可得平面FCB的一个法向量,求出两法向量所成角的余弦值,可得当λ=0时,cosθ有最小值为,此时点M与点F重合.Р【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,设AD=CD=BC=1,Р又∵,∴AB=2,Р∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3.Р∴AB2=AC2+BC2.则BC⊥AC.Р∵CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,Р∴AC⊥CF,而CF∩BC=C,Р∴AC⊥平面BCF.Р∵EF∥AC,Р∴EF⊥平面BCF;Р(2)解:分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,Р设AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(),Р则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),Р∴=(﹣,1,0),=(λ,﹣1,1),Р设=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,Р由得,取x=1,则=(1,,),Р∵=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,Р∴cos<>==.Р∵,∴当λ=0时,cosθ有最小值为,Р∴点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB所成二面角最大,此时二面角的余弦值为.
全文预览