列)的每一个元素加到另一行(列)的对应一个元素上.Р引理1 设上的- 矩阵的左上角元素,并且的第一列中至少有一个元素不能被所整除,那么只通过-矩阵的行初等变换可把化为,使得左上角的元素也不为0,但其次数小于.Р证假如的第一列元素不能被所整除,这里.设用去除所得的商为,余式为,即有Р,Р其中,并且.用乘以第一行的每个元素后加到第行的对应元素上,得.再交换-矩阵的第一行与第行,得.这时左上角的元素为,而,但的次数小于.Р定理1 是上的行+1列的-矩阵,并且的第一列的元素不全是零多项式.那么只通过-矩阵的行初等变换可以把化为行+1列的-矩阵Р, (1)Р这里的是最高次数为1的多项式,表示-矩阵的元素,但不同位置上的表示的元素未必相同.Р证不妨设.如果的第一列中至少有一个元素不能被所整除,那么由引理1知,可以只通过-矩阵的行初等变换把化为,使得的左上角元素不是零多项式,且.如果的第一列中至少有一个元素不能被所整除,那么再由引理1知,可以只通过Р-矩阵的行初等变换把化为,使得的左上角元素不是零多项式,且.如此继续下去,我们将得到一串-矩阵,,,…,它们的左上角元素不是零多项式,且次数严格降低.但是有限数,这个过程不可能无止境的进行下去.因此在有限步之后,我们得到一个,它的左上角元素不是零多项式,且整除的第一列的所有元素.即存在使得Р用-乘以的第一行的每个元素后加到第行的对应元素上,得到的-矩阵记为.这时的第一列中,除不等于0外,其余的元素全为0.设的最高次项系数为,用乘以的第一行,最后得到一个形如(1)的-矩阵.Р定理2 设Р是上的-矩阵,并且存在,使得Р (2)Р对施行若干次-矩阵的行初等变换后得到Р,Р那么Р, (3)Р且(4)Р证我们只需证明对施行一次-矩阵的行初等变换而得到的-矩阵满足等式(3),(4)即可.Р设对施行一次第一或第二种-矩阵的行初等变换,得到的显然满足等式(3
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