,对任意实数,有Р . Р不等式右边是一个关于的一元二次多项式,它对任何实数取非负数,且由于,因此判别式:Р .Р即Р .Р且当时,二次式取得最小值0,式(1.2)等号Р成立,此时Р即Р定理1.1[1] 线性无关的充分必要条件是它的Gramer行列式不等于零,即Р (1.3) Р证明考虑关于的方程:Р两边与进行内积,得Р Р取得线性方程组:Р由Gram法则,此方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零,即Р定理1.2[1] 设,如果,则称正交.Р定理1.3[1] 设是次实系数多项式.若多项式系是有限或无穷区间中关于权函数的正交函数系,即满足Р , (1.4) Р , . (1.5) Р则称为区间中关于权函数的正交多项式系,为区间中关于权函数的次正交多项式.Р (1.6)Р 例1.1[1] 证明:三角函数族在上是正交函数族(权).Р 证明因为Р Р Р Р所以三角函数簇在上是正交函数族,权.Р利用正交化方法构造出的在上带权正交的多项式序列Р (1.7) Р具有以下性质[1]:Р(1)是最高项系数为1的次多项式;Р(2)任何次多项式均可表示为的线性组合;Р(3)当时,,且与任一次数小于的多项式正交;Р在上有个单根;Р(5)的根与的根在上呈交错分布,即Р Р第2章正交多项式与最佳平方逼近Р2.1 常用正交多项式及其性质Р正交多项式是数值计算中的重要工具,有离散和连续两种情形.连续的情形主要用于生成最佳平方逼近多项式,所以本文主要研究的也是连续型的正交多项式字最佳平方逼近中的应用[3].Р2.1.1 勒让德多项式及其性质Р当区间为[-1,1],权函数时,由正交化得到的多项式为勒让德(Legendre)多项式,并用表示[1].Р (2.1) 首项的系数.显然最高项系数为1的勒让德(Legendre)多项式为Р (2.2) Р性质2.1[1] 正交性Р (2.3) Р证明首先证明
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