向量在几何中的应用

DРAР方法思路:在两条直线上分别取不同的两点得到两向量,转化为证明两向量平行.Р证明:如上图,以点O为原点,以射线OA为z轴,建立空间直角坐标系,,,为沿 x Р 轴,y轴,z轴的坐标向量,且设,Р ∵,Р ∴Р ∴,Р ,Р ∴Р ∴,又,且为两个不同的点,Р ∴.Р3.1.3证明线面平行Р已知面外的直线的方向向量为,是平面的一组基底(不共线的向量),若。Р已知面外的直线的方向向量为,平面的法向量是,则若。Р例5 如下图,正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直,分别是对角线Р上的一点,且,求证.РzРyРxРPРEРBРCРQРFРDРAР思路:把,作为平面的一组基底,将用,线性表示。Р证明:设,Р ∵,Р ∴,Р 法一: ∴Р Р Р Р Р Р 法二:以为原点,所在直线分别为轴建立直角坐标系,设正方Р 形的边长为1,则,Р Р Р Р Р 即Р3.1.4证明面面平行Р (1)利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行,根据面面判定定理即得;Р (2)求出两个平面的法向量,证明这两个法向量平行,则这两个面就平行.Р例6 在三棱柱中,侧棱垂直于底面,在底面中,是的中点,且面,为的中点,求证:面面Р证明:以B点为原点,如图建立坐标系,设,则Р РyРxРDРBРCРAРzР Р Р Р 法一:Р Р Р Р 法二: Р 设面的法向量,Р ,即,解得,令,则Р Р 设面的法向量,Р Р ,即,解得,令,则Р ,,Р 面面Р 3.1.5证明两直线垂直Р不重合的直线和直线的方向向量分别为和,则有РAРDРHРEРPРCРBРzРyРxР例7 如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,,,垂足为,Р是四棱锥的高,为中点.证明:Р证明:以为原点, 分别为轴,Р 线段的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图,Р 则,,Р 设, Р 则.Р 可得,Р ,Р .Р 3.1.6证明线面垂直