Q(x2,y2)(x1x2≠0),Р由kOP·kOQ=-,得3x1x2+4y1y2=0,Р即3x1x2+4(kx1+b)(kx2+b)=0,Р所以(3+4k2)x1x2+4kb(x1+x2)+4b2=0.(*)Р联立消去y,Р得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,Р将x1+x2=-,x1x2=代入(*)式,Р得2b2=4k2+3.Р由于圆心O到直线PQ的距离为d=,Р所以直线PQ被圆O截得的弦长为l=2=,故当k=0时,l有最大值.Р综上,因为>2,所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.Р4.如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心,1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆A相切.Р(1)当P距O处2百米时,求OQ的长;Р(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.Р解以O为原点,直线l,m分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.Р设PQ与圆A相切于点B,连结AB,以1百米为单位长度,则圆A的方程为x2+(y-1)2=1.Р(1)由题意可设直线PQ的方程为+=1,Р即qx+2y-2q=0(q>2),Р∵PQ与圆A相切,Р∴=1,解得q=,Р故当P距O处2百米时,OQ的长为百米.Р(2)设直线PQ的方程为+=1,Р即qx+py-pq=0(p>1,q>2),Р∵PQ与圆A相切,Р∴=1,化简得p2=,Р则PQ2=p2+q2=+q2,Р令f(q)=+q2(q>2),Р∴f′(q)=2q-=(q>2),Р当2<q<时,f′(q)<0,即f(q)在上单调递减;Р当q>时,f′(q)>0,即f(q)在上单调递增,Р∴f(q)在q=时取得最小值,Р故当公路PQ长最短时,OQ的长为百米.
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