数Р Р的收敛性, 其中常数p>0. Р提示: 级数的部分和为Р . Р因为, 所以级数收敛. Рp-级数的收敛性: p-级数当p>1时收敛, 当p£1时发散. Р 例2 证明级数是发散的. Р 证因为, 而级数是发散的, Р根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. Р Р 定理3(比较审敛法的极限形式)Р 设和都是正项级数, Р (1)如果(0£l<+¥), 且级数收敛, 则级数收敛; Р (2)如果, 且级数发散, 则级数发散. Р 证明由极限的定义可知, 对, 存在自然数N, 当n>N时, 有不等式Р , 即, Р再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. Р 例3 判别级数的收敛性. Р 解因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. Р 例4 判别级数的收敛性. Р 解因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. Р 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)Р 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r: Р , Р则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散. Р 例5 证明级数Р是收敛的. Р 例6 判别级数的收敛性. Р 例7 判别级数的收敛性. Р提示: , 比值审敛法失效. Р 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. Р 定理5(根值审敛法, 柯西判别法)Р 设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r: Р , Р则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散. Р 例8 证明级数是收敛的. 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. Р 解因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. Р 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为Р Р + Р . Р 例9判定级数的收敛性. Р 定理6(极限审敛法)
全文预览
