式积分得(常Р数).于是,将此式代入第二式并积分,则得所求测地线为Р . Р11.利用刘维尔公式证明:⑴平面上的测地线为直线;⑵圆柱面上的测地线为Р圆柱螺线.Р 证⑴方法一:由于曲面的第一基本形式可写为,所以由利乌维Р公式可知,平面上的测地线的微分方程为,于是有=常数,,故测地线为直线.Р方法二:取平面直角坐标系xoy, 平面方程为,可得,所以.由刘维尔公式,对平面上的测地线有:Р = 0Р所以测地线的(相对曲率) = 0 ,所以测地线是直线.Р方法三: 如方法二得,所以是常数,所以Р 即测地线方程是,所以测地线是直线.Р⑵证法一:设圆柱面为,则易计算.所以测地线的微分方程为= 0 , ,所以=常数,,,即圆柱面上的测地线为.其中,这正是圆柱面上的圆柱螺线.因此得证.Р证法二:设圆柱面为,则易计算.所以测地线的微分方程为Р所以, .Р所以测地线为: (C1 ,C2为常数).因为与z周成定角,所以测地线为圆柱螺线:Р时为是纬圆;Р时为是直母线.Р12.证明:若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线,则它必为曲率线.Р证法一: 因为所给曲面曲线是非直线的测地线,所以沿此曲线有,从而,又因为曲线是平面曲线,所以,从而.因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向,故所给曲线为曲率线.Р证法二:设曲面上非直线的曲线为测地线且为平面曲线.因为为测地线,所以它的主法线是曲面的法线,又因为平面曲线,所以的主法线曲面是可展曲面,于是曲面沿的法线组成曲面是可展曲面,所以为曲率线.Р13.如果曲面上引进半测地坐标网,.Р求证: . Р证明因为E=1,F=0,G=,所以根据Liouville公式有Р,而,Р,从而,Р故得.Р 14.给出曲面的第一基本形式为,如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角时,求证.Р 证因为E=1,F=0,G=,所以与u-曲线交于角的测地线应满足微分方程组Р Р于是有,故有.
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