cos =3.求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率,并判断原点是否为脐点.解;曲面方程即,,,, 。在(0,0)点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.,所以-4a+4=0,两主曲率分别为 =2a,=2a ,所以,高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a4、求曲线的曲率和挠率:解:因为,,,,,,,,所以,5.确定螺旋面上的曲率线。解 对于正螺面, 曲率线的方程为, 化简得 ,即 。 积分得。所求曲率线为,。 6.已知曲面的第一基本形式为,,求坐标曲线的测地曲率.?解,,, u-线的测地曲率 v-线的测地曲率 7、求曲面的渐近曲线.又8、求曲线={t,t,t}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解;原点对应t=0,(0)={+t,-t,+t={0,1,1},{2+t,-t,2+t ={2,0,2},所以切线方程是 ,法面方程是y+z=0;密切平面方程是=0,即x+y-z=0,主法线的方程是 即 ;从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式9、求曲面的渐近线.解:曲面的向量表示为,,.渐近线的微分方程为,即一族为dy=0,即,为常数.另一族为2ydx=-xdy,即.10、求曲面上的曲率线的方程. 解 M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:: .11、将圆柱螺线={acost,asint,bt}化为自然参数表示。解={-a,asintcost,b},s=,所以,代入原方程得={a,a,}12、求双曲面z=axy上的曲率线.解:,N=0. 由=0得,积分得两族曲率线为.
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