程为?即或?渐近曲线为或?35.求双曲抛物面的第一基本形式解:,36.计算球面的第二基本形式.解:由此得到=又由于所以因而得到37.如果曲面的第一基本形式计算第二类克力斯托费尔符号.解:因为,,所以所以,,38、已知曲面的第一基本形式为,,求坐标曲线的测地曲率。解,,,u-线的测地曲率 v-线的测地曲率 39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗?为什么?答:曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线.事实上,设,则的切向量为记,,,则曲线的切向量沿平行移动为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.解:因为由于所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是这是螺旋线,另一族渐近线是这是直线.41、设空间两条曲线和的曲率处处不为零,若曲线和可以建立一一对应,且在对应点的主法线互相平行,求证曲线和在对应点的切线夹固定角.证?设?,,则由知,从而,,?,即?这表明曲线和在对应点的切线夹固定角.42、证明具有固定方向的充要条件是证明:必要性设(为常单位向量),则所以充分性:(为单位向量函数),则,因为,当,从而有即,因为(根据),因此即为常向量,所以有固定方向43、给出曲面上一条曲率线,设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.证?设?,,其中是的自然参数,记,则,两边求导,得,由为曲率线知,即,因此.若,则为平面曲线;若,则因为曲面上的一条曲率线,故.而,所以,即为常向量.于是为平面曲线.44、求圆柱螺线在处的切线方程。解时,有所以切线的方程为即如果用坐标表示,则得切线方程为即45、求双曲螺线从t=0起计算的弧长。解:从t=0起计算的弧长为=46、求球面解:由由此得到曲面的第一类基本量因而47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
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