.莆第二型曲面积分莄概念的起源蒂第二型曲面积分的概念起源于求不可压缩流体通过一个定向曲面的流量问题.羁设流体的流速为,曲面的单位法方向为,求单位时间内流体流过曲面的流量.我们还是采用微元法来做.将曲面分割成很多小曲面,任取一个小曲面,记该小曲面的面积为.先考虑该小曲面上的流量.因为小曲面很小,可以把它看成是一个小平面,所以法方向为在其上不变.同样因为小曲面很小,所以也可以认为流速为在其上不变.蒆因为流量只与在法方向上的分量和小曲面面积有关,所以该小曲面上的流量就是,从而整个曲面上的流量就是螄.膄曲面面积微元向量的分析蝿我们将上面公式中的向量称为是曲面面积微元向量,它的大小是,方向是.要计算第二型曲面积分,我们得把它研究清楚.薆记,,则膅.薂其中””称为外乘.我们就拿上面的来分析,其它两个类似.回顾到前面我们在第一型曲面积分微元公式得到的一个结果,那么我们有薈,蚆当是锐角是取(曲面取上侧),是钝角是取(曲面取下侧).薆注:这里为了方便说明,我们约定一个直角坐标系的方位讲法,轴正向是向上,负向向下,类似轴正向向前,负向向后,轴正向向右,负向向左.那么当是锐角时,我们就说曲面取上侧,而当是钝角时,我们就说曲面取下侧,其它类似.芄对于我们可做类似分析.薁(3)第二型曲面积分的计算螅记,则蚃.螂我们以来说明第二型曲面积分的计算方法.莀设,取上侧,那么,利用曲面方程将表示成的函数带入积分得袅,肄即把第二型曲面积分化为一个二重积分来计算,其中变化范围是曲面在平面上的投影区域.对于和可做类似讨论.蒄注:这里对第二型曲面积分的计算是基于对其面积微元向量的认识的一个方法,也是最基本的方法.当然常用的计算方法还有利用Gauss公式来计算或者化为第一型曲面积分来计算.腿YM,Math-Seu,2010-8-11[]在和许多同学交谈中了解到不少同学对本文中的内容不是很清楚,故做此文,请读者不吝指正.
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