第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (5)

xP(x,y,z+2yQ(x,y,z+R(x,y,z1+4x2+4y222ydS.6.已知流体速度v=xyi+yzj+xzk,封闭曲面∑是由平面x=0,y=0,z=1及锥面z2=x2+y2所围立体在第一卦限部分的表面,试求由∑的内部流向其外部的流量.解如图10.42所示,∑=∑1+∑2+∑3+∑4,其中∑1:z=x2+y2,取下侧;∑2:x=0,取后侧;∑3:y=0,取左侧;∑4:z=1,取上侧.由∑的内部流向其外部的流量为z∑4:z=1∑2:x=01∑3:y=0∑1:z=x2+y2y图10.42Oxw∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy+∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy∑∑1∑2+∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy+∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy.∑3∑4易知∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=0,∑2∑3121∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=∫∫xdxdy=∫02cosθdθ∫0ρdρ=3.∑∑44π∑1:z=x2+y2,∑1在xOy面上的投影域为6Dxy:x2+y2≤1,x≥0,y≥0.∑1上任一点(x,y,z处的法向量为(为关于坐标x,y的非组合曲面积分,可得xx+y22,yx+y22,−1,将组合曲面积分化∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=∫∫[xy∑1∑1−xx2+y2+yz−yx2+y2+xz]dxdy=−∫∫[xyDxy−xx+y22+yx2+y2−yx+y22+xx2+y2]dxdy=Dxy∫∫(πx2yx+y22+y2−xx2+y2dxdy11π=∫2(cos2θsinθ+sin2θ+cosθdθ∫ρ3dρ=−+.00616综上所述,可知所求的流量为11π1π−+=+.36166167