理1 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为。记分别为位于轴的上半部分与下半部分,分别在上的投影方向相反,函数在上连续,那么Р当关于为偶函数时,则Р Р当关于为奇函数时,则Р Р证明:依定理条件不妨设Р从点变到点Р从点变到点Р于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有Р Р故1)当关于为偶函数时,有Р当位于为奇函数时,有Р Р Р注1 对于有定理1的结论Р注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反对偶零”“与反对奇倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反;“对”指关于轴对称;“偶”指被积函数在上关于为偶函数;“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍”涵义类似解释。Р 关于曲线积分还有另一个对称性的结论是Р 定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程为,记分别为位于轴的右半部分,分别在轴上的投影方向相同,函数在上连续,那么Р当关于为奇函数时,则Р Р当关于为偶函数时,则Р证明: 依定理条件不妨设Р从点0变到Р从点变到0.Р于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有Р Р对右端第2个积分,令,有Р Р因此有Р Р故1)当在上关于为奇函数时,有Р当在上关于为偶函数时,有Р Р注1 对于有类似2的结论。Р注2 定理1与定理2虽然都是对坐标的曲线积分,但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对轴而言的,而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对轴和轴而言的。另外,被积函数的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的,故定理2的结论恰好与定理1相反,定理2用口诀简言之是:“同对奇零倍”。其中“同”指分别在轴的投影方向相同,“对”指关于轴对称“奇”指被积函数关于为奇函数,“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。Р例4 计算.其中为抛物线从点到上的一段弧。Р解:以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论,故有,Р其中,,从点0变到1.
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