=0,整理即得圆心为(-1-2λ1+λ,0).又∵两圆公共弦为3x+1=0,圆心在公共弦上,∴-3×1-2λ1+λ+1=0,∴λ=27.∴所求圆的方程为9x2+9y2+6x-31=0.即x2+y2+23x-319=0.17.已知曲线C:x=4-y2与直线y=k(x-1)+3只有一个交点,求实数k的取值范围.解:曲线C的方程可化为x2+y2=4,x≥0,∴曲线C表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆的右半部分,直线过定点M(1,3).如图所示.由图可得kAM=1,kBM=5,∴1≤k<5.又|-k+3|1+k2=2,化简得3k2+6k-5=0,解得k=-1±263(舍去正根).综上,实数k的取值范围是1≤k<5或k=-1-263.18.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,4求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为2.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则|k+2|k2+1=2.所以k=2±6,即切线方程为y=(2±6)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则|-1+2-a|2=2.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).∵|PO|2+r2=|PC|2,∴x21+y21+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-310,35).
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