本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸. 我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝, 自然都是那些不给自己刮脸的人. 可是, 有一天, 这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢? 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 罗素悖论提出, 危机产生后, 数学家纷纷提出自己的解决方案. 人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造, 通过对集合定义加以限制来排除悖论, 这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机. 但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响. 有人说: “提出问题就是解决问题的一半”, 而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题. 它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系! ”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样: “必须承认, 在这些悖论面前, 我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的. 人们试想: 在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果. 如果甚至于数学思考也失灵的话, 那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢? ”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它. 而在解决悖论的过程中, 各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立; 第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生. 数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧,而罗素悖论在其中起到了重要的作用.
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