B ?取最小值,其最小值为 3 216 。例 10( 08 年全国卷Ⅰ) 设双曲线中心在坐标原点 O , 焦点在 x 轴上, 两条渐近线分别为 1l 和2l , 过双曲线的右焦点 F 且垂直于1l 的直线分别交 1l 和2l 于A ,B 两点,已知 OA , AB , OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向。(Ⅰ)求双曲线离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线截得线段长为 4 , 求双曲线方程。解:(Ⅰ)略。(Ⅱ) 设直线 AB 的斜率为 k , 直线 AB 被双曲线截得线段为 MN ,由( Ⅰ)可知 ba2?,2 5?e ,而渐近线 1l 的斜率为 2 1 1??a bk ,则由 1l AB ?得2 1 tan 1?????k k?,则5 1 cos ???, 又2 2ba b ep??,由43 4 cos 1 2 22???? be ep MN ?,得3?b ,6?a ,故所求的双曲线方程为 1936 22?? yx 。例 11( 10 年辽宁理) 已知椭圆:C 1 2 22 2??b ya x)0(??ba 的右焦点为 F ,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A ,B 两点, 直线 l 的倾斜角为?60 , FB AF 2?。(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)如果 4 15 ? AB ,求椭圆 C 的方程。解:(Ⅰ)因为 FB AF 2?所以?60 cos 1e ep???60 cos 1 2e ep?, 解得3 2?e 。(Ⅱ)由( Ⅰ)知3 2??a ce ,则 9 4 2 2?a c ,得229 4ac?, 所以 222cab?? 29 5a?,又? 22 cos 1 2e ep AB ??4 19 41 2 2??? a b4 15 4 54 9 2??? aa b ,得3?a ,59 5 22??ab , 故椭圆 C 的方程为 159 22?? yx 。
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