调和级数发散性的多种证明

值函数,且( ) lim ( ) x x x e f e f x ????,则当 1??时,级数 1 ( ) n f n ???收敛;当 1??时, 级数 1 ( ) n f n ???发散. 令1 ( ) f x x ?,则1 ( ) lim lim lim 1 ( ) x x x x x x x e e f e ex f x x ??? ?????? ?????, 故级数 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 3 n n f n n n ? ?? ?? ??????? ?? ?发散. 证法十六:应用高斯判别法:在级数 1 nna ???中,若 0( 1, 2, 3, ) n a n ? ??及 11 (| | , 0), n n nnaC a n n ???? ????? ?? ??则(1) 当1??时, 级数收敛; (2) 1??时级数发散; (3) 当1??时,若 1??则级数收敛,若 1??则级数发散. 在调和级数 11 nn ???中, 11 1 1 111 nnann a n n n ??? ????, 据高斯判别法知,调和级数 11 nn ???发散. 17 证法十七:设 1 2 0, , n n n a s a a a ? ?????级数 1, nna ?????则 1 nnnas ???发散.