《常微分方程》网络作业

离得两边同时积分得(其中c为任意常数)2)由解得,作变换,则有令,则有,变量分离,并两边同时积分得把及代入可得即(其中c,c1为任意常数),这即为所求的通解。作业3求解下列方程:解:1)该方程可化为,这是变量分离方程变量分离得两边积分得原方程的通解为(为任意常数)2)齐线性方程的通解为(c为任意常数)设为方程的解,则,解得(为任意常数)∴原方程的通解为(为任意常数)3)这是n=5的贝努利方程。设,则   (*)方程(*)是一阶线性微分方程,其通解为(c为任意常数)∴原方程的通解为(c为任意常数)此外,原方程还有解:y=04)原方程可化为,这是n=﹣2的贝努利方程设,则   (*)方程(*)是一阶线性微分方程,其通解为(c为任意常数)∴原方程的通解为(c为任意常数)此外,原方程还有解:y=0《常微分方程》网络作业2作业41、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。解:取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:在估计式中令我们就得到第n次近似解和真正解在区间内的误差估计式这样,我们在进行近似计算时,可以根据误差的要求,选取适当的逐步逼近函数。2、求方程通过点的第二次近似解。解:可以作出如下的近似表达式;就是方程通过点(1,0)的第二次近似解。作业51、讨论方程通过点的解和通过点的解的存在区间。解:此方程右端函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件由解得∴通过点(1,1)的解为,该解的存在区间为(﹣∞,2)通过点(3,﹣1)的解为,该解的存在区间为(2,﹢∞)2、考虑方程假设及在xOy平面上连续,试证明:对于任意及,方程满足的解都在上存在。证明:根据题设,可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足解的延拓定理及解的存在与唯一性定理的条件。易于看到,为方程在(﹣∞,﹢∞)上的解由延拓定理可知,满足,任意及的解上的点应当无限远离原点但是,由解的唯一性,又不能穿过直线