用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学角度)Р(2) 分离变数法物理基础——驻波的形成:两列反向行进的同频率的波的叠加。? u1=A cos(t-kx),u2=A cos(t+kx)? u=u1+u2=2A cos(2t) cos(2kx)? 时间变量与空间变量分离Р驻波的一般表示:u(x,t)=X(x)T(t)? 把这种具有变数分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程,如果得到了方程的解,再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性Р(3) 分离变数法的特点:? a.物理上由叠加原理作保证,数学上由解的唯一性作保证;? b.把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题简单化。? (4) 分离变数法的适用范围:? 波动、输运、稳定场问题等。Р4Р泛定方程:Р边界条件:Р初始条件:Р由于两端固定,解是驻波:Р两端固定的均匀细弦的自由振动Р定解问题:Р波腹Р波节Р①弦在平衡位置振动可用函数? T(t)描述;Р②振幅随位置变化可用函数? X(x)表示Р即可设驻波解:Р则可以想象此问题的解应是变数可分离的解,为此设Р5Р8.1 齐次方程的分离变数法Р(一)分离变数法介绍Р由于x, t 是相互独立的变量,上式必然等于同一常数。Р1、分离变数——建立常微分方程定解问题Р代入波动方程Р移项整理得变数分离等式:Р把Р得Р引入公共实常数λ:Р①常微分方程:Р得出两个常微分方程:Р②边值条件Р7Р把Р代入边值条件Р③常微分方程及边值条件Р(1)Р(2)Р2、求解本征值问题Р常微分方程通解:Р边界条件:Р边界条件:Р(3)РC2非零解РXn(x)称本征函数Р边界条件:Рλ只能取分列特定值(正整数)---称本征值Р称本征问题Рn=1,2,3……Р解方程Р本征解un(x,t):РA、B 是积分常数Р3、本征解与一般解Р本征振动的线性叠加.上式正好是傅里叶正弦级数.Р解Р一般解Р(4)含时函数解:
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