代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用.Р有限差分法:有限差分法把定解问题转化为代数方程,? 然后通过电子计算机求定解问题的数值解.Р模拟法:即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题,? 而在模型上实测解的数值.Р变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法,?已经广泛应用于科学研究和工程计算之中,限于篇幅故?本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论.Р13.1 变分法的基本概念Р定义: 变分法变分问题Р变分法就是求泛函极值的方法.变分问题即是求?泛函的极值问题.Р一、泛函? 变分法研究的对象是泛函,泛函是函数概念的推广.?为了说明泛函概念先看一个例题:Р考虑著名的最速降线落径问题。如图13.1 所示, ? 已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点,要求?找出A、B间的这样一条曲线,当一质点在重力作用下沿?这条曲线无摩擦地从A滑到B时,所需的时间T最小.Р图13.1Р我们知道,此时质点的速度是Р因此从 A滑到B所需的时间为Р即为Р(13.1.1)Р式中Р代表对Р求一阶导数. 我们称上述的Р为Р的泛函,而称Р为可取的函数类,为泛函Р的定义域。简单地说,泛函就是函数的函数(不是复合函数?的那种含义).Р一般来说,设C是函数的集合,B是实数或复数的集合,Р如果对于C的任一元素Р在B中都有一个元素Р与之对应,Р则称Р为Р的泛函,记为Р必须注意,泛函不同于通常讲的函数.决定通常函数值的Р因素是自变量的取值,而决定泛函的值的因素则是函数的取形.如上面例子中的泛函T的变化是由函数Р(即从A到B的不同曲线)Р值,也不取决Р所引起的.它的值既不取决于某一个Р本身的变化Р于某一个Р值,而是取决于整个集合C中Р与Р的函数关系.Р定义:泛函泛函的核Р泛函通常以积分形式出现,比如上面描述的最速降线?落径问题的式(13.1.1).更为一般而又典型的泛函定义为Р(13.1.2)Р其中Р称为泛函的核.
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