初等数学研究初等代数初等几何数系、式与不等式、方程与函数、数列、排列组合、算法平面几何、几何变换、轨迹、作图、立体几何第一章数系§1.1数的概念的扩展→+0→+正分数+负分数+无理数+虚数数系扩张的方法:添加元素法第一章数系数系扩张的方法:构造法(代数结构、公理系统)自然数集可以构造整数集(自然数对)可以构造有理数集可以构造实数集可以构造复数集……→→→→同构、逆运算、方程有解AB第一章数系(1)(2)中的运算、关系在中依然适用,真子集保持原来的性质。扩张原则:(3)在中不是总能施行的某种运算或无解的方程,在集合中总能施行或有解。(4)是的最小扩张。第一章数系§1.2自然数的序数理论自然数的两种作用:●计数(有几个)自然数基数理论(康托)●次序(第几个)自然数序数理论(皮亚诺)序数理论采用公理进行刻划第一章数系什么是公理?公理:不加定义、不加证明的概念或命题,是某个演绎系统的本源。公理的四个性质:(1)完备性(2)纯粹性(3)独立性(4)和谐性第一章数系皮亚诺公理系统定义1自然数的元数之间有一个基本关系“后续”(“+”),并且满足下列公理:由(1)、(3)0是最前面的自然数数学归纳法原理的理论依据第一章数系定义2自然数加法是一种对应关系“+”。定理1自然数的加法是唯一存在的。2)唯一性假设两种对应关系“+”、“”,都满足定义2,+○只需证归纳公理证。证明思路:1)存在性根据定义2进行规定第一章数系例1证明:2+3=5证明法1:法2:加法的交换律,定义2定理2求证思路:归纳公理,步骤:固定a、b,则满足式子的c的集合M;1)证1在M中;2)证c的后续在M中。定理3(加法的交换律)证明思路:第一章数系固定,满足式子的的集合。下证:1)两次应用了归纳公理,类似于定理6的证明。
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