第三章 非线性有限元理论

而必须进行反复迭代,同时非线性求解过程中的应力和应变等概念也与线性求解中的概念不同。非线性边值问题,无论是哪种非线性问题,当应用有限元法后,最终均归结为下面线性方程组的求解:Ψ(u)=K(u)u-P=0K(u)是N×N矩阵,P是N阶等效节点力矩阵。对于上述非线性方程,一般不可能获得精确解,通常只能用一系列线性方程组的解去逼近所考察的非线性方程组的解。由于非线性问题形态各异,形成了各种各样的解法,包括叠代法(直接迭代法、牛顿拉夫森法、修正牛顿法和拟牛顿法)、增量法以及弧长法等。第二节非线性有限元求解方法2.1直接迭代法对于非线性有限元方程Ψ(u)=K(u)u-P=0u1=K(u0)-1P如果问题是收敛的,u1将比u0有所改善,如此反复迭代可得un+1=K(un)-1P,Δun=un+1-un当设范数为收敛条件则为设一初始未知量u0,则由上式可得:第二节非线性有限元求解方法第二节非线性有限元求解方法一维非线性问题的直接迭代法图解如果考虑到每步迭代Ψ(un)=K(un)un-P≠0将Ψ(un)视为不平衡力(或失衡力)并作为衡量收敛的标准,则收敛条件也可改为直接迭代法优点:简单易行,计算方便。缺点:忽略矩阵K元素之间的耦合关系,不能真实的反映问题的非线性,导致收敛速度慢,而且可能出现迭代过程中的不稳定。结论:这种方法在实际分析中较少使用。第二节非线性有限元求解方法2.2牛顿法和修正牛顿法如果将非线性方程Ψ(u)=0在un附近展开,则又如果[Ψ’(u)]n的逆存在,则Δun近似等于记KT(un)=[Ψ’(u)]n,Pn=Ψ(un)Δun≈-[Ψ’(u)]n-1Ψ(un)则Δun≈-KT(un)-1Pn,un+1=un+Δun切线矩阵不平衡力如此逐步计算,即可得到解答,这就是牛顿-拉夫森法。Ψ(u)=Ψ(un)+[Ψ’(u)]nΔun+…=0或用求和约定可写为第二节非线性有限元求解方法