材料非线性有限元法

0)式可知Р (4.36)Р (4.37)Р (4.38)Р所以仿照Newton-Raphson法,并考虑到(3.126)和(3.127)式,有Р (4.39)Р (4.40)Р (4.41)Р (4.42)Р (4.43)Р§4-2 非线性弹性手算例题Р?为了熟悉非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元法及其非线性方程组的求解过程,这里以图4-4(a)所示的弹塑性拉压超静定问题为例,用Newton-Raphson法、初应变迭代法、初应力迭代法进行手算。其中用Newton-Raphson法的求解作较详细的叙述,以便了解非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元分析的全过程,而用其他方法的求解只给出主要计算过程和计算结果。在该拉压超静定杆中划分的节点和单元如图4-4(a)中所示。单元①和②分别由线性强化材料和线性弹性材料制成,如图4-4(b)和(c)所示。两个单元的截面积均为Р,长度均为,弹性模量均为,单元①的强化模量为。节点2所受集中载荷,其中为单元①的屈服极限。Р 1 2 3Р ①②Р图4-4(a)Р用Newton-Raphson法求解Р(1)非线性有限元方程的形成首先去掉两固定端约束,用其约束反力和代替,所以Р (a)Р由于Р Р (b)Р Р所以Р (c)Р (d)Р?设单元内任意一点位移为Р Р而Р Р Р所以Р Р其中几何矩阵Р (e)Р单元节点位移向量Р 这里的单元都是单向应力状态,即Р Р (f)Р (g)Р所以由(4.24)、(4.25)和(4.26)式可得Р (h)Р (i)Р把(c)~(g)式代入(h)和(i)式,并考虑到Р,有Р (j)Р (h)Р把(a)、(j)和(k)式代入(3.17)式,并考虑到Р,有Р ()Р最后由边界条件和,用第一章所述的消行降阶法便得约束处理后的非线性有限元方程,即Р (m)Р(2)切线刚度迭代公式的建立由于Р Р所以无量纲迭代公式为