数学物理方程

数学物理方程第一章方程的一般概念第一节方程的基本概念定义:一个含有多元未知函数及其偏导数的方程,称为偏微分方程。一般形式:其中u为多元未知函数,F是以及u的有限个偏导数的已知函数。注意:在偏微分方程中可以不含未知函数u,但必须含有未知函数u的偏导数。定义:偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。定义:如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的,及其系数仅依赖于自变量,就称为线性偏微分方程。二阶线性偏微分方程的一般形式:波动方程热传导方程位势方程第二节二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类一般形式其中u(x,y)是未知函数,都是x,y的已知函数,且不同时为零。称为方程的判别式。定义:(1)若在处称方程(1)在点处为双曲型方程;(2)若在处称方程(1)在点处为抛物型方程;(3)若在处称方程(1)在点处为椭圆型方程。例:波动方程双曲型热传导方程抛物型位势方程椭圆型二、方程的标准形式定义:方程分别称为双曲型方程的第一标准形和第二标准形。方程称为抛物型方程的标准形。方程称为椭圆型方程的标准形。三、方程的化简步骤:第一步:写出判别式,根据判别式判断方程的类型;第二步:根据方程(1)写如下方程称为方程(1)的特征方程。方程(2)可分解为两个一次方程称为特征方程,其解为特征线。设这两个特征线方程的特征线为令第三步(1)当时,令以为新变量方程(1)化为标准形其中A,B,C,D都是的已知函数。(2)当时,特征线令其中是与线性无关的任意函数,这样以为新变量方程(1)化为标准形其中A,B,C,D都是的已知函数。(3)当时,令以为新变量方程(1)化为标准形其中A,B,C,D都是的已知函数。