集合记为,的维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为实维向量空间.Р显然线性空间中元素满足以下规律:Р交换律: . (2)Р结合律: . (3)Р. (4)Р . (5)Р, (6)Р, (7)Р, (8)Р. (9)Р(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出:Р, (10)Р, (11)Р. (12)Р如果,那么Р. (13)Р例1.计算Р(i)(2,0,-1)+(-1,-1,2)+(0,1,-1);Р(ii)5(0,1,-1)-3(1,,2)+(1,-3,1).Р例2.证明:如果Рa(2,1,3)+ b(0,1,2)+ c(1,-1,4)=(0,0,0),Р那么a = b = c = 0.Р(二)向量组的线性组合Р两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使Р.Р定义3.5 向量称为向量组的一个线性组合,如果有数域中的数,使Р ,Р其中叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组的一个线性组合时,也说可以经向量组线性表出.Р例如,任一个维向量都是下面向量组的一个线性组合.Р Р向量称为维单位向量.Р零向量是任意向量组的线性组合.Р定理3.3设,向量(),则向量可由向量组线性表示的充要条件是:以为列向量的矩阵与以,为列向量的矩阵有相同的秩Р若向量组的中每一个向量都可以经向量组Р线性表出,那么向量组就称为可以经向量组线性表出.Р定理3.4如果向量组可以经向量组线性表出,向量组可以经向量组线性表出,那么向量组可以经向量组线性表出.Р定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价.Р向量组之间等价具有以下性质:Р1)反身性:每一个向量组都与它自身等价.Р2)对称性:如果向量组与等价,那么向量组与等价.Р3)传递性:如果向量组与等价,与等价,那么向量组与等价.Р课后作业:P159 4,6(1),8
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