常微分方程与动力系统.pdf

。式(1.1 )称为一阶标准形微分方程组。为方便起见,通常都把式(1.1 )改写为向量形式 x ?=f (t ,x ) (1.2 ) 式中:t∈R ,x= (x 1,…,x n) T∈R n(n 维实欧氏空间),f = (f 1,…,f n) T∈R n是定义在(n+1 )维的(t ,x )空间中的某个区域Ω上的n 维向量函数,即f ∶Ω?R n+1→R n。在R n中定义内积为<x ,y >= defx Ty =∑ n i= 1 x iy i,x ,y ∈R n 并规定向量x∈R n的模(范数)为‖x‖= def<x ,x >( =∑ n i= 1 x 2) i 有时也称式(1.2 )为一个微分系统,称f 为系统(1.2 )的向量场(方向场)。如果f 与t 无关,即对于所有(t ,x )∈Ω,f (t ,x )=f (x ),即式(1.2 )变为x ?=f (x ),称为自治(或定常)微分方程(即自治(定常)系统);否则,称为非自治(非定常)微分方程(即非自治(非定常)系统)。如果f (t ,x ) 是x 的线性函数,则称式(1.2 )为线性微分方程(线性系统);否则,称为非线性微分方程(非线性系统)。如果f (t ,x )=A (t )x ,其中A (t )= [a ij(t )]是以a ij(t )为元素的n×n 矩阵,式(1.2 )变为 x ?=A (t )x 称为线性齐次微分方程组(线性齐次系统)。如果f (t ,x )=A (t )x+g (t ),其中g (t )= (g 1(t ),…,g n(t )) T,则式(1.2 )变为 x ?=A (t )x+g (t ) 称为线性非齐次微分方程组(线性非齐次系统)。特别的,当f (t ,x )=Ax ,A 是n×n 常数矩阵时,式(1.2 )变为线性齐次常系数微分方程组: x ?=Ax 1 北京航空航天大学出版社