个三角形两边的中点时,可以直接连接中点,构造三角形的中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,构造三角形的中位线.1方法连接两点构造三角形的中位线1.如图,已知点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM=PN;(2)求∠MPN的度数.如图,连接CD,AE.由三角形中位线定理可得PMDC,PNAE.∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°.∴∠ABE=∠DBC.∴△ABE≌△DBC.∴AE=DC.∴PM=PN.(1)证明:如图,设PM交AE于F,PN交DC于G,AE交DC于H,由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.∴∠AHD=∠ABD=60°.∴∠FHG=120°.∵PN∥AE,PM∥DC,∴四边形PFHG为平行四边形.∴∠MPN=120°.(2)解:2方法利用角平分线和垂直构造三角形的中位线2.如图,在△ABC中,点M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求DM的长.如图,延长BD,CA交于N.∵AD为△ABC的外角平分线,∴∠NAD=∠BAD.又∵AD⊥BD,∴∠ADN=∠ADB=90°.在△AND和△ABD中,∴△AND≌△ABD(ASA).∴DN=DB,AN=AB.解:∵M为BC的中点,∴DM是△BCN的中位线.∴DM=NC=(AN+AC)=(AB+AC)=15.3.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,连接DE,求DE的长.同类变式3方法倍长法构造三角形的中位线4.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点.求证:ME=CF.
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