学科素养培优三构造法解抽象函数问题Р在导数及其应用的客观题中,有一个热点考查点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造的函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度.下面总结其基本类型及其处理方法.Р类型一只含f′(x)类Р反思归纳利用(f(x)+kx+b)′=f′(x)+k,根据导数符号,可得出函数g(x)= f(x)+kx+b的单调性,利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等.Р类型二含f(x)±f′(x)类Р【例2】(2017·安徽合肥一中)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x),若f(x)<f′(x)恒成立,且f(0)=2,则不等式f(x)>2ex的解集是( )?(A)(2,+∞)?(B)(0,+∞)?(C)(-∞,0)?(D)(-∞,2)Р反思归纳由于ex>0,故[exf(x)]′=[f(x)+f′(x)]ex,其符号由f(x)+ f′(x)的符号确定,[ ]′= ,其符号由f′(x)-f(x)的符号确定.含有f(x)±f′(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数.Р类型三 f(x)±f′(x)tan x类?【例3】(2017·湖南省衡阳八中月考)已知f(x)的定义域为(0,π),且对定义域内的任意x恒有f′(x)sin x>f(x)cos x成立,则下列关系成立的是( )Р思路点拨:构造函数g(x)= .
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