n个根(由代数基本定理可知)x1、 x2 、…、 xn作为一个整体来考察,并研究它们之间的排列或称“置换”。Р为了容易理解起见,我们以四次方程的四个根x1、 x2 、 x3 、 x4为例,在包含这些 xi 的任何表达式中交换 x1和 x2 就是一个置换,用Р来表示。另一个置换用Р表示。第一个置换后再实行第二个置换,等价于实行第三个置换Р我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换,即P1· P2 = P3 .?对于四次方程的情形,易知共有4!=24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合,而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换,伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义,不过它只是针对一个具体的群(置换群)所作的定义,还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。? 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群,伽罗瓦称之为“方程的群”,也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如下:考虑由方程系数的有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合,现在叫方程的“基本域”,并记为 F = Q ( a1, a2 , …, an ), Q为有理数域, a1, a2 , …, an 是方程的系数,但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群,这些置换保持方程的根以 F 的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。Р设方程Р,其中 p、 q 是独立的,令F 是 p , q的有理表达式Р形成的域(基本域),如Р就是这样一个表达式。这个方程的四个根:Р是我们已经知道的,并且容易看出这些根的系数在F中的下列两个关系成立:? x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0 ,?可以验证,在方程根的所有24个可能置换中,下面8个置换
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