史上,积分学先于微分学产生,而并非像数学分析中讲授的那样,先微分后积分。积分学的起源可以追溯到古希腊时代及我国魏晋时期,阿基米德研究了圆的周长和面积的计算问题。他利用圆的内接正多边形和外切正多边形推算。随着边数的增加,这种近似就变得越来越精确,一直到正96边形。在这个计算工作中,包含了“无限细分、无限求和”的微积分思想。多边形不断增加边数即对圆周“无限细分”,由许多三角形总和来求圆周长和圆面积,即“无限求和”。他在求抛物弓形的面积时也用到了无穷小分割求和的思想。刘徽的割圆术也是利用分割、求和、取极限的思想方法来求一些图形的面积和体积。Р4.求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围成的体积以及?物体的重心等问题Р在我国隋朝,有一座赵州桥,是一座跨度达37米的大石拱桥。它是用一条条长方形条石砌成。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈,这就是微积分中“以直代曲”基本思想的生动原形。Р17世纪,开普勒、卡瓦列利、费马也都使用了无穷小分割求和的方法。笛卡儿、巴罗、费马解决了求切线和极值等问题。在牛顿、莱布尼兹之前,微积分的大量知识已经积累起来,但微积分的诞生还需要迈出更艰巨的一步,即建立起微分与积分运算之间的联系。微分与积分的基本问题,在当时被看作不同的类型来处理。虽然也有人注意到了某些联系,但并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。这一伟大使命是由牛顿和莱布尼兹完成的。时代的需要与个人的才识,使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。但他们却没有建立起微积分严格的理论基础。对于这门新兴学科还有许多概念需要澄清。例如无穷小的概念就为微积分的进一步发展留下了许多课题,使得18世纪几乎成为分析的时代。在18世纪,经过柯西、维尔斯特拉斯、戴德金、伯努力、拉格朗日等人的努力,微积分体系才建立在极限理论的基础之上。微积分进一步发展为包括无穷级数、微分方程、实变函数、复变函数在内的分析学。
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