感言Р 一件遗憾的事儿:几乎所有的大学生不知道非欧几何,甚至数学类专业的本科生(包括部分大学数学教师)也是如此。? 今天我们试图来弥补这个遗憾,来了解影响和改变世界的非欧几何。Р第十章痛苦的分娩——几何学的革命Р一、关于第五公设的思考Р二、非欧几何的诞生Р2.黎曼对非欧几何的贡献Р三、非欧几何产生的意义Р1.高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的突破性工作Р3.几何学的划分Р4.非欧几何的模型Р5.非欧几何的相容性Р6.平行公理的独立性问题Р公元前300年产生了欧氏几何,至今每个学生在初中都要学习它,它的影响遍及世界各国。两千多年来,人们一直认为欧几里得几何空间是反映现实世界唯一正确的几何空间。直到18世纪,欧氏几何仍一统天下。到了19世纪20年代,非欧几何的诞生使人们从这一思想中解放了出来。在数学史上,很少有一个分支能像非欧几何那样对人类的认识产生如此深刻的影响。人们常把非欧几何引起的思想变革比作哥白尼的革命。德国伟大数学家希尔伯特说:“19世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。”? 非欧几何产生的最早根源在于人们对欧几里得第五公设的研究。Р关于第五公设的思考Р1Р五条公设Р公设1. 一点到另外一点作直线是可能的;Р五条公设Р公设2. 有限直线不断沿直线延长是可能的;Р五条公设Р公设3. 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的;Р五条公设Р公设4. 所有直角彼此相等;РBРAРCРDРPРQРRРSРADC = PSQР五条公设Р公设5. 如果一直线与两直线相交,且同侧所交两内角之和?小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。РaРbРa + b < 180Р1Р2РР第五条公设等价于平行公理:?过直线外一点可以作唯一一条直线与之平行。
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