求解常微分方程的本征值问题3

回?顾Р1、方程的通解和特解?2、数学物理方程(二阶线性偏微分方程)的分类?3、行波法与 d’Alembert 公式?4、 d’Alembert 公式的应用Р1Р1.行波法;?2.分离变量法;?3.幂级数解法;?4.格林函数法; ?5.积分变换法;?6.保角变换法; ?7.变分法;?8.计算机仿真解法;?9.数值计算法Р数学物理方程的求解Р2Р分离变量理论Р考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程:Р试确定方程如下形式的解:Р将该解代入方程可得:Р3Р对于常系数偏微分方程,我们有:Р因为X、Y分别是关于x、y的函数,所以λ一定是?一个常数;这样原方程就化为如下两个常微分方程:Р4Р对于变系数偏微分方程,一般不能分离变量。Р5Р有界弦的自由振动Р研究两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题:Р两端固定的弦的自由振动会形成驻波,此时行波法将不再适?用(?)。考虑到驻波的波函数为:Р6Р类比驻波波函数,可设定解问题的具有一个可分离?变量的特解为:Р将这一特解代入泛定方程可得:Р其中 X 和 T 分别为 x 和 t 的函数。Р易知λ为常数,故原泛定方程变为:Р7Р相应地,边界条件变为:Р这样就得到如下常微分方程:Р这个常微分方程的解依λ的取值不同而不同,需要讨论。Р8Р当λ< 0时,该方程有非零解,且其解为:Р易知当λ= 0时,微分方程的解为:Р但边界条件要求Р类似地,当λ>0时,微分方程的解为:Р而边界条件要求Р9Р关于 T 的方程变为:Р其解为:Р这样就得到泛定方程满足边界条件的一个特解:Р这样的特解有无穷多个,但是其中的每一个并不总?能满足初始条件的要求。Р10