偏微分方程反问题的数值解法教案

R [0,)Р ⎪∂∂xyР ⎪ uxy(, )== f () x 0, x ∈ RР ⎨ y=0 Р ⎪Р ∂uxy(, ) 1Р ⎪==gx() sin, nx x ∈ RР ⎪∂ynР ⎩ y=0Р该方程唯一解是Р 1Р uxy( , )=∈≥ sin nx sinh( ny ), x Ry , 0 Р n2Р 1Р虽然有: sup{}fx ( )+ gx ( )=→ 0, n →∞Р xR∈ nР 1Р但是对一切的,当时,Р y > 0 n →∞ sup{}uxy ( , )= 2 sinh( ny )→∞, n →∞Р xR∈ nР说明当观测数据精度提高时,解的误差反而增加。Р例 1.9 函数求导问题Р 考察两个函数 ux1()和 ux21()=+ ux () N sinω x的求导问题, Р ρ()uxux12(),()=−= sup{ ux 1 () ux 2 ()} N Р xab∈[,]Р ρ uxux′′(), ()=−= sup ux ′() ux ′() NωР ( 12) { 1 2}Р xab∈[,]Р当ω充分大的时候, ρ uxux′′(), ()可以任意大。Р ( 12)Р 如果度量取ρ uxux(),()=−+− sup ux () ux () u′′() x u () x ,Р ()12{ 1 2 1 2}Р xab∈[,]Р ρ uxux′′(), ()=− sup ux ′() ux ′() ,则该问题就是稳定的。但是这种度量无法验证。Р ( 12) { 1 2}Р xab∈[,]Р例 1.10 第一类积分方程的数值解Р t+1Р 1 e −1Р exsdsts ()= yt ()=≤≤, 0 t 1 Р ∫0 t +1Р该方程精确解为 x()te= t 。Р 1Р进行数值求解时,取步长 h = ,用复合梯形公式Р nР - 8 -