微分方程数值解报告1

(2.11) Р式中表示节点上的网函数值。Р特别取正方形网格：，则差分方程（2.2）简化为Р(2.12) РJacobi迭代Р在Richardson同步迭代РР中取，得解（2.3）相应的Jacobi迭代Р(2.13) РSOR迭代РSOR迭代格式为Р(2.14) Р其中的取值范围为。最佳松弛因子满足。РGS迭代Р在迭代式（2.5）中取，则得Gauss-Seidel迭代格式。Р2.算例及三种迭代格式的性能比较Р求解边值问题РР(2.15) Р其精确解为Р取步长h=1/10,1/20,1/30,1/40,1/50当两次迭代值重合到小数点后六位时停止迭代，用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代和SOR迭代（松弛因子取为1.75）求解差分方程，三种迭代法迭代次数与精度的比较如下表所示РР步长РJacobiРSORРG_SРР迭代次数Р最大误差Р迭代次数Р最大误差Р迭代次数Р最大误差Р1/10Р120Р1.164Р48Р1.164Р125Р1.164Р1/20Р371Р0.294Р48Р0.293Р393Р0.294Р1/30Р678Р0.138Р110Р0.132Р741Р0.138Р1/40Р1036Р0.098Р187Р0.078Р1134Р0.098РР由上表可见，随着区域剖分的加细，数值解的精度越来越大。下面以步长为1/50，采用SOR迭代（松弛因子取1.75）为例给出数值解、精确解和误差绝对值的网格图：РРРРРРРРРРР3.交替方向迭代法Р1.交替方向法格式Р考虑边值问题РР的五点差分格式Р(2.16) Р先定义矩阵和。对向量，令РР则可将（2.7）写成РР其中。于是PR迭代为：РР其中是迭代参数。按层合并，得РР由到只需交替解两个具三对角系数阵的方程和，可用消去法解。Р2.算例Р求解边值问题