分数布朗运动(南开2011-3)

Ingenhausz观测木炭粉末在酒表面运动;? (2)1828年Robert Brown观测花粉, 尘埃, 烟灰在水表面的运动;? (3)1905 年Albert Einstein用随机行走解释流体分子的热运动;? (4)1926年Jean Perrin因为测量Avogadro常数获Nobel物理奖;? 进一步发展是什么呢?Р导语Р1. 反常扩散Р反常扩散: Р反常扩散是指自由系统偏离正常布朗运动的扩散行为,表现为粒子的方均位移满足Р其中Kα称为广义扩散系数,α称为功率指数或者扩散指数。?0< α<1称为欠扩散(sub-diffusion), 1< α<2称为超扩散(super-diffusion);α=0 称为局域化(localization), α=2称为弹道扩散(ballistic diffusion),它们是扩散的两个极限。Р正常布朗运动Р信天翁РBao and Zhuo: PRL 91, 138104 (2003)Р热扩散的极限:弹道扩散Р研究反常扩散--输运的主要手段:Р广义热力学统计(Tsallis统计)?非线性媒介Fokker-Planck方程和分数阶Fokker-Planck方程(FFPE)?广义主方程(GME)?广义Langevin方程(GLE)和分数阶Langevin方程(FLE)?连续时间无规行走(CTRW)Р“非标准统计物理”Р2. 连续时间无规行走理论РPearson-Einstein一维无规行走理论:?1、假设粒子只在相邻格点之间跳跃,不同格点用下标 j 区分;?2、假设粒子向 j±1 格点跳跃的概率相等,均为0.5。?于是,粒子的一维扩散主方程为:Р连续时间无规行走理论Р连续性近似下Δx→ 0, Δt → 0,将主方程两边分别对Δx 和Δt 做泰勒展开,左边得到:Р右边得到:Р将上面两式代入主方程,就得到自由场扩散方程:Р其中称为扩散系数。