万美元,即在 1% 的尾部分布范围内, 有 10% 的概率损失为 100 万美元, 90% 的概率损失为 1000 万美元,预期亏损为 0.1 × 100+0.9 × 1000 = 910 万美元。 c)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99% 的置信水平的 VaR 是多少? 将两项投资迭加产生一个投资组合,则组合有 0.009 × 0.009=0.000081 ,即 0.0081% 的概率损失 1000+1000=2000 万美元;有 2× 0.009 × 0.991=0.017838 ,即 1.7838% 的概率损失 100+1000=1100 万美元;有 0.991 × 0.991=0.982081 ,即 98.2081% 的概率损失 100+100=200 万美元。因为 98.2081% < 99% ﹤ 98.2081% ﹢ 1.7838% ,所以组合的 VaR =1100 万美元。 d)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合在 99% 的置信水平下的预期亏损是多少? 将两项投资迭加产生一个投资组合,在 1% 的尾部分布中, 有 0.0081% 的概率损失为 2000 万美元,有 0.9919% 的概率损失为 1100 万美元,即在 1% 的尾部分布的范围内,预期亏损为( 0.0081/1 )× 2000 ﹢( 0.9919/1 )× 1100 = 1107.29 万美元。 e)请说明此例的 VaR 不满足次可加性条件, 但是预期亏损满足次可加性条件。单笔投资所对应的 VaR 的和为 200 万美元,组合的 VaR 为 1100 万美元, 200 < 1100 ,这违反了次可加性。单笔投资所对应的预期亏损的和为 910 × 2 = 1820 万美元, 组合的预期亏损为 1107.29 万美元, 1820 > 1107.29 ,则满足次可加性。
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