数学分析学习指导书上册(华东师范大学，吴良森 毛羽辉 韩士安 吴 畏)

无限十进循环小数.Р qР 三、范例解析Р 例 1 �设 a, b 为任意实数, 证明:Р | a + b | | a | | b |Р ≤+ . ( 1�2)Р 1 + | a + b| 1 + | a | 1 + | b |Р xР 证�我们将从函数 f ( x) = 的性质着手证明不等式.Р 1 + xР x 1Р 设 f ( x) = = 1 - , x > 0 , 若 0 < x1 < x2 , 则 f ( x1 ) < f ( x2 ) .Р 1 + x 1 + xР 因为| a + b | ≤| a | + | b | , 于是有Р | a + b | | a | + | b |Р ≤�Р 1 + | a + b | 1 + | a | + | b |Р | a | | b |Р = +Р 1 + | a | + | b | 1 + | a | + | b |Р | a | | b|Р ≤+ . □Р 1 + | a | 1 + | b|Р 例 2 �利用数学归纳法证明二项式展开定理Р nР n k k n - kР ( a + b) = ∑ Cn a b , ( 1�3)Р k = 0Р其中 a, b 为任意实数, n 为正整数.Р 证� n = 1 时, 等式(1�3 )显然是成立的.设等式当 n = m 时成立, 即Р mР m k k m - kР ( a + b) = ∑ Cm a b ,Р k = 0Р当 n = m + 1 时,Р m + 1 m �Р ��( a + b) = ( a + b) ( a + b)Р mР k k m - kР = ( a + b) ∑ Cm a bР k = 0Р m mР k k m - k + 1 k k + 1 m - kР = ∑ Cm a b + ∑ Cm a bР k = 0 k = 0Р · 3 ·