复杂流体动力学中fene模型适定性的研究

.8)(1.9)可分别化为 p(△mg一20fg)一(m+2pJcm)·%g+2(m·(彭m)一ptcu)g=0, (1.10) 8 第一章绪论和 glf:o=go=p一羞^,m∈B. (1.11) 由此可以看出,当m在球B内部时,方程(1.10)是标准的抛物型方程;而当m在边界aB附近时,方程(1.10)是退化的抛物型方程. 需要强调的是方程(1.10)不需要边界条件.事实上,(1.10)可重写为 au(丰)Dqg+b‘(手)Dig+c(拿)g=0, f,J=0,1,2,3, (1.12) 其中}=(如,}l,&,&)=(f,m),Q=(0,T)X B, 口00=0,bo=-2p,c(})=2(m·(gm)一JD%瑾), a眦=P,b瑾=一(m口+2pra#m卢),0f,卢=1,2,3. 注意到对任意的实向量Y成立当}∈Q时, 口玎(})竹"三o; 当}∈(0,T)XaB时,aiJ(})yiYj=0. 所以二阶方程(1.12)在边界(0,T)X OB上有非负特征点.我们考察Fichera数跳m)=(易2一口g)咒z. 在边界(0,T)×aB上,有,lo=0,,li=一mf/√石,i=1,2,3,此时孑(f,m)=E<b‘一口譬,)ni 2砉(一+孚)(一羞) b.—.2 以‘由Fichera准则(【58】)可知,当孑三0时,即当b三2时,方程(1.12)在边界(0,T)×OB上不需要边界条件;而当b<2时,方程需要边界条件.在t=0和 t=T可以按照抛物型方程的初值和终端给出相应的条件,这里不再赘述. 在本文中,除非特别说明,我们所提到的解总是方程的强解或经典解.在叙述主要结论前,我们先介绍在研究抛物型方程时常用的范数(见[1]). 定义1.1设Q是IIn中的开集,s∈N.我们称集合{“;《Otofr“∈L2(Q X(0,丁)),对满足JO/I+2r sk的任意O/和r)