矩阵的乘桂是 H 的代数运算. 因为矩阵的乘法满足结合律,所以 H 的乘法也满足结合律. 单位元是单位矩阵 E ε H: 对任意的 Aε H 有 H +c b+l -,, , J α +10 0 AE = EA = A. 对任意的 A = 10 1 o 0 1 -cε H 有且 A. A- 1 = k- 1 ? A = E. 所以 H 中每个元素都可逆. 由此知 H 关于矩阵的乘法构成群设 G 是群 al , a2 , …, ζ证明: (ala2'" a r )-1 = .., a;-1 …- = α. . . al 证明因为…α…αJl)=e … a . ... a ,..) = e , 所以(al l! 2 … ar)-I = … 1.设 G 是群 a , b εG. 证明:如果。=~,则 bα=e 证明= α= αα=αα=α= a- 1 a = 伫设 G 是群.证明:如果对任意的 z εG ,都杳 x = 则 G 是一个交换群. 证明对任意的 x EG ,杳 yx = eyx = (xy)2yx = xyxyyx = xyxex = xyxx = xy 所以 G 是二个交换群. 13. 设 G 是群.证明 G 是交换群的充分必要条件是对任意的αζG = α证明必要性如果 G 为交换群,则对任意的α b εG ,有= a.bab = aabb = α充分性如果对任意的α b ε G 有时=α2 庐,则 bα= (α1α) 阳= = α= a- 1 a 2 b 2 b- 1 = ab. 所以 G 为交换群. 设 G 是一个具有乘法运茸的非空有限集合.证明:如果 G 满足结合律,有左单位元,且右消去律成立,则 G 是一个群. 6
全文预览
