= OC,\r:.L.BOP=上LBOC=60° ,\r2\rNB=-=-1 BC= 3,\r2\r:.ON＝森， 08=2石 ，\r:．点 P到 BC的最大距离PN=2-f3－寸5=-f3;\r＠点 P的路径长为^ BC的长，\r..·-BC= n TT r = = 120 TT X 2森＝硒 TT.\r^\r180 180 3\r(2) 由 (1) 中题意可知张角 乙CPB的度数始终为 120°'\r可得乙 CBP＋乙BCP=60° ,\r又 ？圆 P是丛A'BC的内切圆 ，\r．．乙CBA'＋乙BCA'= l20° ,\r:.乙CA'B=60° ,\r:.A'是等边 三角形 ABC外接圆 上优弧 BAC上的一动点 ，\r由题意可得等边三角形ABC外接圆的半径为 2-/3,\r．二点A'的路径是优弧BAC的长度，即以 240° 的圆心角，半径为2-/3的弧长，\r如图，所以点A'的路径长＝旦庄王＝240冗 X2J5＝趴厅冗'\r180 180 3\r.\r, /\rI\rI\rI\r,\rji\r1 ,c\rI I\rB I\r,\r。-＇｀\r．．硒冗硒六 = 2: 1,\r3 3\r:．点 A'的路 径长是点 P 的路 径长的 2倍 ．\r【点评 】 本题考查 了等边三角形的性质 ， 圆的有关性质，弧长公式等，解题的关键是能\r够根据题意 画 出图形 ．\r
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