围内解:令是对钩函数,利用图像可知:在上是单减函数,因此,(注:是将代入得到)注意:使用基本不等式时,注意取到最值,有没有在范围内,如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。例4.求的值域分析:先换元,令,其中解:总之:形如的函数,一般可经过换元法等价变形化为型函数,要注意t的取值范围;【失误与防范】1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件.3.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.【题型2】条件是或为定值,求最值(值域)(简)例5.若且,则的最大值是________.解析:由于,则,因此,则的最大值为例6.已知为正实数,且满足,则的最大值为________.解析:∴,当且仅当即时,取得最大值.例7.已知,且,则的最小值为________.解析:,,当且仅当时,等号成立.总结:此种题型:和定积最大,积定和最小【题型3】条件是或为定值,求最值(范围)(难)方法:将整体代入例8.已知且,则的最小值是________________解析:因此最小值是例9.已知,,则的最小值是________.解析:则因此最小值是例10.已知,且求的最小值是____________解析:则从而最小值为9【题型4】已知与关系式,求取值范围例11.若正数满足,求及的取值范围.解析:把与看成两个未知数,先要用基本不等式消元解:⑴求的范围(需要消去:①孤立条件的②③将替换)①,②③(消结束,下面把看成整体,换元,求范围)令,则变成解得或(舍去),从而⑵求的范围(需要消去:①孤立条件的②③将替换),(消结束,下面把看成整体,换元,求范围)令则有,,,得到或(舍去)得到
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