个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).…………………………(4分)(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,C与l联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0.∴当A,B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=(2)2,即2+=8,解得k=0或k=±.又∵-<k<,且k≠±1,∴当k=0或k=±时,△AOB的面积为.…………………………(12分)22.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.…………………………(4分)(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)·(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>-.又x1+x2=,x1x2=,…………………………(7分)因为·=2,即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,所以(x1-2)(x2-2)(1+k)=2=.即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.所以[-2·+4]·(1+k)==,解得k1=±.…………………………(10分)因为k1>-,所以k1=.于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.…………………………(12分)
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