2B.设ΔABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由正弦定理可得a2+c2=b2.根据勾股定理的逆定理知,ΔABC为直角三角形.【点睛】(1)本题主要考查两角和差的正余弦,考查二倍角的余弦,考查正弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,注意灵活使用,提高解题效率.22.(1)V=-x38+32x2(0<x<12);(2)32πcm3.【解析】【分析】(Ⅰ)先求三棱柱的高h=336-x2cm,底面积S=34x2cm2,再求三棱柱的容积V和函数的定义域.(Ⅱ)(1)此时x=6cm,而相应棱柱的高h=3cm,再求侧面积S.(2)先求得正三棱柱的高为3cm,底面正三角形的内切圆半径为3cm,再分析得到球体体积最大时,其直径应与高相等,即得球体半径R=32cm和该金属球体的最大体积V'.【详解】(Ⅰ)结合平面图形数据及三棱柱直观图,易求得:三棱柱的高h=336-x2cm,其底面积S=34x2cm2则三棱柱容器的容积V=Sh=34x2⋅336-x2=x246-x2=-x38+32x2即所求函数关系式为V=-x38+32x2(0<x<12).(Ⅱ)(1)此时x=6cm,而相应棱柱的高h=3cm,故S侧=3×6×3=183cm2(注:侧面积求法不唯一)(2)结合底面边长和棱柱的高的数据可得:①该正三棱柱的高为3cm;②底面正三角形的内切圆半径为13×6×32=3cm,由此易知球体体积最大时,其直径应与高相等,则球体半径R=32cm,故球体最大体积V'=43πR3=43π323=32πcm3【点睛】(1)本题主要考查几何体的体积的计算和侧面积的计算,考查体积的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到球体体积最大时,其直径应与高相等.
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