论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式:变式1设,等号成立当且仅当变式2设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则:,等号成立当且仅当。二、典型例题:例1、已知,,求证:。例2、设,求证:。例3、设为平面上的向量,则。例4、已知均为正数,且,求证:。方法1:方法2:(应用柯西不等式)例5:已知,,…,为实数,求证:。分析:推论:在个实数,,…,的和为定值为S时,它们的平方和不小于,当且仅当时,平方和取最小值。三、小结:四、练习:1、设x1,x2,…,xn>0,则2、设(i=1,2,…,n)且求证:.3、设a为实常数,试求函数(x∈R)的最大值.4、求函数在上的最大值,其中a,b为正常数.五、作业:1、已知:,,证明:。提示:本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若,且=,=,求证:都是不大于的非负实数。证明:由代入=可得∵∴△≥0即化简可得:∵∴同理可得: ,由此可见,在平常的解题中,一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用;只要能灵活运用,就能收到事半功倍的效果。3、设a﹐b为不相等的正數,试证:(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2。4、设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求的最小值。5、设x,y,zÎR,求的最大值。6、ΔABC之三边长为4,5,6,P为三角形內部一点P,P到三边的距离分別为x,y,z,求x2+y2+z2的最小值。解:s=DABC面积=且DABC=DPAB+DPBC+DPACÞÞ4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2³(x2+y2+z2)(42+52+62)Þ³(x2+y2+z2)´77Þx2+y2+z2³7、设三个正实数a,b,c满足,求证:a,b,c一定是某三角形的三边长。8、求证个正实数a1,a2,…,an满足9、已知,且求证:。10、设,求证:。11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值.
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