线性代数小论文

Р例2设矩阵Р?Р求矩阵A的列向量组α1,α2, α3,α4,α5的一个极大无关组,并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。Р解对A施行初等行变换,使之变成行阶梯形矩阵Р Р显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个列向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上,故α1,α2, α4为列向量组的一个极大无关组.这是因为:Р知 R(α1,α2, α4) = 3,故α1,α2, α4线性无关。Р为把α3, α5用α1,α2, α4线性表示,把A再变成最简形矩阵Р?即得α3=-α1-α2, α5=4α1+3α2-3α4Р2.3生成子空间的基和维数Р1.设有向量空间V1及V2,若向量空间V1V2,就说V1是V2的子空间。Р2.设V是向量空间,如果r个向量α1,α2, ···,αr∈V,且满足Р(1)α1,α2, ···,αr线性无关;(2)V中任一向量都可由α1,α2, ···,αr线性表示Р那么,向量组α1,α2, ···,αr就称为向量V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间。Р说明:(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基.Р (2)若把向量空间V看作向量组,那么V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.Р (3)若向量组α1,α2, ···,αr是向量空间V的一个基,则V可表示为Р?Р例3设矩阵Р?Р验证α1,α2, α3是R3的一个基,并把b1,b2用这个基线性表示。Р解要证α1,α2, α3是R3的一个基,只要证α1,α2, α3线性无关,即只要证AEР Р 记作B=AXР对矩阵施行初等行变换,若A能变成E,则α1,α2, α3是R3的一个基,且A当变为E时,B变为X=A-1B。Р因有AE,故α1,α2, α3是R3的一个基,且Р Р参考文献Р1.同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社.2007