应为(–1)N(2314)+N(1243)=(–1)2+1=–1.如按行标排成自然顺序,就是a14a21a32a43,因而它的符号是(–1)N(4123)=(–1)3=–1同样,由数的乘法的交换律,我们也可以把行列式的一般项中元素的列标排成自然顺序123…n,而此时相应的行标的n级排列为i1i2…in,则行列式定义又可叙述为.思考题:1.如果n阶行列式所有元素变号,问行列式的值如何变化?2.由行列式的定义计算f(R)=中R4与R3的系数,并说明理由.1.4行列式的性质当行列式的阶数较高时,直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的,本节将介绍行列式的性质,以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算.将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式,记作DT,即若,则.反之,行列式D也是行列式DT的转置行列式,即行列式D与行列式DT互为转置行列式.性质1行列式D与它的转置行列式DT的值相等.证:行列式D中的元素aij(i,j=1,2,…,n)在DT中位于第j行第i列上,也就是说它的行标是j,列标是i,因此,将行列式DT按列自然序排列展开,得这正是行列式D按行自然序排列的展开式.所以D=DT.这一性质表明,行列式中的行、列的地位是对称的,即对于“行”成立的性质,对“列”也同样成立,反之亦然.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.证:设行列式将第i行与第s行(1≤i<s≤n)互换后,得到行列式显然,乘积在行列式D和D1中,都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积,根据§3定理1,对于行列式D,这一项的符号由决定;而对行列式D1,这一项的符号由决定.而排列1…i…s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反,所以=–即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数,所以D=–D1.例1计算行列式解:将第一、二行互换,第三、五行互换,得将第一、五列互换,得
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