代数余子式的概念.定义在n阶行列式中,划去元素aij所在的第i行和第j列后,余下的元素按原来的位置构成一个n–1阶行列式,称为元素aij的余子式,记作Mij.元素aij的余子式Mij前面添上符号(–1)i+j称为元素aij的代数余子式,记作Aij.即Aij=(–1)i+jMij.例如:在四阶行列式中a23的余子式是M23=而A23=(–1)2+3M23=–是a23的代数余子式.定理1n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n).定理2n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零,即:ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)或a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t).定理1表明,n阶行列式可以用n–1阶行列式来表示,因此该定理又称行列式的降阶展开定理.利用它并结合行列式的性质,可以大大简化行列式的计算.计算行列式时,一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素,再按定理1展开,变为低一阶行列式,如此继续下去,直到将行列式化为三阶或二阶.这在行列式的计算中是一种常用的方法.例1计算行列式例2计算n阶行列式例3计算,其中xy≠0.例4试证(1)式中左端叫范德蒙行列式.结论说明,n阶范德蒙行列式之值等于a1,a2, …,an,这n个数的所有可能的差ai–aj(1≤j<i≤n)的乘积.例5计算n阶行列式例6证明(拉普拉斯展开)本例题的结论对一般情况也是成立的,即1.6克莱姆法则前面我们已经介绍了n阶行列式的定义和计算方法,作为行列式的应用,本节介绍用行列式解n元线性方程组的方法——克莱姆法则.它是§1中二、三元线性方程组求解公式的推广.
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